statystyki

Krawczyk: Nauka na boisku, czyli rzuty karne i teoria gier

autor: Michał Krawczyk04.12.2017, 07:45; Aktualizacja: 04.12.2017, 09:45

Do czego sportowcom nauka, już objaśnialiśmy: modelowanie statystyczne i modele wyceny pozwalają podejmować poprawniejsze decyzje sportowe i biznesowe. Ale czy taka na przykład piłka może się przydać naukowcowi? Okazuje się, że na wiele sposobów. Jeden z bardziej spektakularnych przykładów dotyczy wykorzystania danych piłkarskich do przetestowania przewidywań teorii gier. Talmud pisze, że pies nie tknie zębami uczonego człowieka, ale czy pies czyta talmud? Czy gracze skłonni są postępować zgodnie z przewidywaniami teorii gier? Szczególne wątpliwości można mieć w przypadku gier bez tzw. równowagi w strategiach czystych. Jeśli pewna strategia pierwszego gracza i pewna strategia drugiego gracza są najlepszymi odpowiedziami na siebie nawzajem, można się po nich spodziewać, że będą je wybierać (w szczególności jeśli istnieje tylko jedna taka para strategii). Czasem jednak wcale nie ma takiej pary i najlepiej jest wybierać losowo spośród kilku strategii.

Reklama


Trywialnym przykładem jest gra papier-nożyce-kamień: najlepsza strategia polega na tym, by w każdej kolejnej grze wybierać niezależnie od poprzednich wyborów (zawsze papier, nożyce lub kamień z jednakowym prawdopodobieństwem). Jeśli od tej strategii odstąpimy, a przeciwnik się połapie, będzie mógł to obrócić na naszą niekorzyść. Jeśli np. będziemy zbyt często wybierać nożyce, przeciwnik częściej wygra, wybierając kamień. Podobnie jeśli nawet częstości wykorzystania poszczególnych strategii będą jednakowe, ale losowania nie będą niezależne (np. systematycznie po papierze zbyt często będą nożyce), przeciwnik może ten wzorzec wykorzystać. W wielu bardziej naturalnych, a mniej sformalizowanych grach – w życiu prywatnym czy biznesie – także lepiej jest pozostać nieprzewidywalnym (choć niekoniecznie każdej strategii winniśmy przypisywać to samo prawdopodobieństwo).

Ze strategiami mieszanymi związane są jednak liczne problemy. Po pierwsze, nie ma zgody co do tego, jak je interpretować. Czy różne akcje wybierają (odrobinę?) różni (ale na oko nieodróżnialni) gracze czy raczej konkretny gracz explicite zawierza ślepemu losowi (czyli randomizuje)? Po drugie, czy gracze potrafią w ogóle poprawnie randomizować? Eksperymenty wskazują np., że rzucanie w myślach monetą jest bardzo trudne: większość osób zbyt często przeplata orły z reszkami, bo ORORROOROR wydaje się „bardziej losowe” niż OOORROOOOO, choć mają jednakowe prawdopodobieństwo realizacji w dziesięciu rzutach uczciwą monetą. Po trzecie, jednorazowe odstąpienie od równowagowej strategii mieszanej nic nie kosztuje (jeśli zaś przeciwnik nie miesza poprawnie, to nawet na – właściwym – odstąpieniu od naszej równowagowej strategii zarobimy, jak to wspomniano wcześniej). Można więc podejrzewać, że w praktyce równowaga w strategiach mieszanych będzie trudna do osiągnięcia i mało stabilna. Istotnie, większość sytuacji „życiowych” jest zbyt złożonych i niepowtarzalnych, by można je było rozsądnie analizować.

Po tym teoretycznym wstępie wróćmy na boisko, bo fantastyczne poletko badawcze stanowią rzuty karne: ponieważ piłka leci tylko ułamek sekundy, bramkarz musi wybrać, czy rzucić się w lewo czy w prawo, zanim zdąży zobaczyć, w którą stronę strzelono. Szanse na to, że piłka zatrzepocze w siatce, są ogromne, gdy bramkarz rzuci się w złą stronę, i tylko umiarkowane, gdy w dobrą. Możemy przyjąć, że jedynym celem wykonującego karny jest, by padła bramka, a bramkarza – wręcz przeciwnie (tzw. gra o sumie zerowej). Otrzymujemy grę jednoczesną z precyzyjnie określonymi wypłatami graczy. Jeśli Lewandowski zawsze strzelałby przy lewym słupku, każdy bramkarz rzucałby się w ciemno w tę stronę. Oczywiście wtedy Lewandowskiemu opłacałoby się strzelać raczej w przeciwną itd. Równowagi bez mieszania strategii zatem nie znajdziemy. Ale możemy szukać równowagi w strategiach mieszanych, tj. obliczyć, z jakimi prawdopodobieństwami strzelec, a z jakim bramkarz powinien wybierać opcje „lewo” i „prawo”. Można zatem sprawdzić, czy gracze faktycznie wybierają poszczególne strategie właściwie często. Ponadto można przetestować, czy kolejne wykonania są niezależne (czy też np. strzelający zbyt często zmieniają: lewo-prawo-lewo-prawo itd.). Choć mniej zaznajomiony z teorią gier komentator i tak będzie się upierać, że bramkarz wyczuł intencje strzelającego albo że mu się to nie udało, okazuje się, że to właśnie teoriogrowy model przewidujący wykorzystanie strategii mieszanych daje poprawne przewidywania. Istotnie, przynajmniej w czołowych ligach świata, częstości wyborów „lewo” i „prawo” są z tym modelem zgodne, a kolejne wybory są niezależne. Pewien rozdźwięk pomiędzy teorią a praktyką powstaje, gdy uwzględnimy strategie: nierzucania się wcale i strzelania w środek bramki. Są one wybierane nieco rzadziej, niż przewidywałaby teoria, być może dlatego, że bramkarz, który wcale się nie rzucił (podczas gdy piłka poleciała przy słupku), jak również gracz pola, który strzelił w środek (i bramkarz obronił), wyglądają szczególnie głupio. To by sugerowało, że gra w strzelanie karnych nie jest, ściśle biorąc, grą o sumie zerowej. Nie wiadomo także, jak właściwie gracze randomizują. Niektórzy z nich twierdzą, że biegnąc do piłki, nie wiedzą jeszcze, w którą stronę strzelą. Co ciekawe, dane z rzutów karnych mogą także prowadzić do zakwestionowania racjonalności piłkarzy. Niektóre mecze (i niektóre dwumecze) piłkarskie nie mogą zakończyć się remisem. Jeśli po regulaminowych 90 minutach i dogrywce wciąż nie ma rozstrzygnięcia, strzelana jest seria rzutów karnych. Zawodnicy przeciwnych drużyn wykonują je na przemian. O tym, która z drużyn ma zacząć, decyduje rzut monetą. Losowanie ma spore znaczenie, bo jak pokazują statystyki, w ok. 60 proc. przypadków wygrywa drużyna, która strzela jako pierwsza. Zjawisko to na ogół interpretuje się w kategoriach presji psychicznej spoczywającej na zawodnikach pola muszących „gonić wynik” (bo zdecydowana większość karnych i tak statystycznie wpada do bramki). Może psycholog drużyny powinien zatykać uszy i zasłaniać oczy zawodnikom czekającym na swoją kolej?


Pozostało jeszcze 54% treści

Czytaj wszystkie artykuły
Miesiąc 97,90 zł
Zamów abonament

Mam kod promocyjny
Materiał chroniony prawem autorskim - wszelkie prawa zastrzeżone. Dalsze rozpowszechnianie artykułu tylko za zgodą wydawcy INFOR Biznes. Kup licencję
Więcej na ten temat

Reklama


Artykuły powiązane

Polecane

Twój komentarz

Zanim dodasz komentarz - zapoznaj się z zasadami komentowania artykułów.

Widzisz naruszenie regulaminu? Zgłoś je!

Redakcja poleca

Polecane

Reklama